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Normalverteilung

 
     
   
auch: Gaußverteilung, Glockenkurve, die für die Statistik bedeutendste Verteilung. Sie ist eine empirische Verteilung, da sich viele Merkmale annähernd normalverteilt finden lassen (Größe, Gewicht u.a.). Sie dient als Verteilungsmodell für statistische Kennwerte und ist eine mathematische Basisverteilung, aus der sich andere Verteilungsformen ableiten lassen (z.B. ?2-Verteilung, t-Verteilung, F-Verteilung). Eine wichtige Funktion spielt sie in der statistischen Fehlertheorie, da man annehmen kann, daß bei zufällig wirksamen Fehlern diese normalverteilt sind mit dem Mittelwert ? = 0. Dieses Modell ist für die Inferenzstatistik grundlegend und findet u.a. bei der Regressionsanalyse oder bei der klassischen Testtheorie Anwendung. Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird durch folgende Gleichung beschrieben (Formel 1):

Die Dichtefunktion hat für alle Normalverteilungen typische Eigenschaften. Sie hat einen glockenförmigen Verlauf, ist eingipflig und symmetrisch. Modalwert, Median und Erwartungswert fallen zusammen. Die Verteilung nähert sich asymptotisch der x-Achse. Zwischen den Wendepunkten der Verteilung, die bei ?+/- ? liegen, befinden sich etwa 68% der Gesamtfläche. Unterschiedliche Formen der Normalverteilung sind auf unterschiedliche Erwartungswerte und Standardabweichungen zurückzuführen . Eine geringe Standardabweichung ergibt eine hohe, schmale Glockenkurve, eine hohe Standardabweichung führt zu einer breiten, flachen Form.

Von besonderer Bedeutung ist die standardisierte Normalverteilung, die einen Mittelwert von ? = 0 und eine Varianz von ?2 = 1 aufweist. Jede Normalverteilung kann durch eine z-Transformation (Formel 2)

in die Standardnormalverteilung überführt werden, die in allen Statistikbüchern als Verteilungsfunktion tabelliert ist. Diese Verteilungsfunktion gibt die Fläche unter der Dichte zwischen den Grenzen –? und +? wieder und wird häufig angewendet: zur Bestimmung von Ablehnungsbereichen bei statischen Tests, zur Schätzung von Vertrauensintervallen oder bei einem Vergleich von gleichen Merkmalen, die mit unterschiedlichen Verfahren gemessen wurden, z.B. bei der Intelligenzmessung (Intelligenz, Meßfehler).
 
     
 
 
 
     
 
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